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施密特正交化)_数学_自然科学_专业资料。施密特正交化 在线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间, 那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提 供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间

施密特正交化 在线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间, 那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提 供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交 基,并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名, 然而比他们更早的拉普拉斯(Laplace)和柯西(Cauchy)已经发现了 这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa decomposition)。 在数值计算中,Gram-Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累 积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常 使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。 记法 :维数为n 的内积空间 : 中的元素,可以是向量、函数,等等 : 与 的内积 : 、 …… 张成的子空间 : 在 上的投影 基本思想 图1 v在V2上投影,构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础 上构造一个新的正交基。 设 。Vk是Vn上的k 维子空间,其标准正交基为 ,且v不在Vk上。由投影原理知,v与其在Vk上的投影 之差 是正交于子空间Vk的,亦即β正交于Vk的正交基ηi。因此只要将β单 位化,即 那么{η1,…,ηk+1}就是Vk在v上扩展的子空间span{v,η1,…,ηk} 的标准正交基。 根据上述分析,对于向量组{v1,…,vm}张成的空间Vn,只要从其中一 个向量(不妨设为v1)所张成的一维子空间span{v1}开始(注意到{v1} 就是span{v1}的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得 到Vn的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序,不妨设为 。Gram-Schmidt正交化的过程如下: 这样就得到 上的一组正交基 ,以及相应的标准正交基。 例 考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合,欧氏空间上内积的定义为a, b = bTa: 下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量: 下面验证向量β1与β2的正交性: 将这些向量单位化: 于是{η1,η2}就是span{v1, v2} 的一组标准正交基。 不同的形式 随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,GramSchmidt正交化也表现出不同的形式。 例如,在实向量空间上,内积定义为: 在复向量空间上,内积定义为: 函数之间的内积则定义为: 与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。

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